Question

平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积之比为

平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积之比为

Answer 1

设原来的圆锥的体积为V大，底半径为R，高为H，侧面积为S大，母线长为 L；设被截面分截后，上面小圆锥的体积为v小，底半径为r，高为h，侧面积为s小，母线长为 L小 。
因为 V大 / v小 =2 ，V大= π R² H /3 ，v小= π r² h /3 ，
所以 （π R ² H /3）/ （π r² h /3）= 2 ，即 R² H / r² h =2，
因为 R / r = H / h ，R² H / r² h =（R / r）^3 =2 ，
即　 R / r = 2 ^(1/3 )．
因为 S大= π RL ，s小= π r L小 ，
S大/ s小 = π RL / π r L小 =（ R / r ） * （L / L小），
因为 L / L小 = R / r ，
即 S大/ s小 =（ R / r ）^2 = 2 ^(2/3 ) ＝4 ^(1/3 ) ，
圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积分别为：s小 和 S大- s小 ，
因为 （S大- s小）/s小 = S大/ s小 - 1 = 4 ^(1/3 ) - 1= 0.5874 ．
故圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积之比为：1 /（4 ^(1/3 ) - 1 ）=1.7024 ．

Answer 2

圆锥侧面被截面分成的上下两部分面积之比=(1/2²)的1/3次方∶[1-(1/2²)的1/3次方]≈63∶37