Question

如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2√3）、（4，0）、

如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2√3）、（4，0）、（3，2√3），点M是AD的中点。（1）求证：四边形AOCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变。设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长。

Answer 1

（1）∵A（1，2
3
）、D（3，2
3
），
∴AD∥OC，
由两点间的距离公式可以求出OA=
13
，DC=
13
，
∴OA=DC．
∵AD=2，OC=4，
∴AD≠OC
∴梯形AOCD是等腰梯形；
（2）∵M是AD的中点，
∴AM=DM=1，
∴M（2，2
3
），
由两点间的距离公式可以求出MO=MC=4．
∵OC=4，
∴OM=OC=MC=4
∴△OMC是等边三角形，
∴∠MOP=∠QCP=60°．
∵∠MPQ=60°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3，
∴△OMP∽△CPQ
∴
OM
PC
＝
OP
CQ
即
4
x
＝
4−x
4−y

∴y＝
1
4
x2−x+4（0≤x≤4）；
（3）∵y＝
1
4
x2−x+4，
∴y＝
1
4
(x−2)2+3，
∴x=2时，y最大=3 即MQ=3．
当OP=3时，x=1，y=
13
4
即，MQ=
13
4
，
∴当0≤x≤2时，Q点运动路径长为4-3=1
当2＜x≤3时，Q点运动路径长为
13
4
−3＝
1
4

∴当P点从O点运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长为1+
1
4
＝
5
4
个单位．

Answer 2

（1）OA=√[1²+(2√3)²]=√13
CD=√[(3-4)²+(2√3)²]=√13,
且AD∥OC，
∴四边形AOCD是等腰梯形。
（2）由M（2，2√3）MO=CO=4，
∴∠MOC=∠MCO=60°
∠PMO=∠QPC，
∴△PMO∽△QPC
4/（4-x）=x/（4-y）
y=（x²-4x+16）/4.
（0＜x＜4）
（3）当OP=3，
x=4-3=1，
MQ=y=(1²-4×1+16)/4=13/4.

Answer 3

1分别作过A,D两点的x轴垂线AE,AF垂足分别为E,F。则四边形AEFD为矩形，所以，AD平行且等于EF,即AD平行于OC,由题意知，OA=FC=1，AE=DF所以，三角形OAE全等于三角形DFC.所以，OA=OC,即证

Answer 4

第三问，Q点的运动路径=CQ=CM-MQ=CM-y=4-13/4=3/4

Answer 5

很好