Question

利用定积分推导球的体积公式

如何利用定积分推导半径为r的球的体积公式?(如果需要建立坐标,请写明坐标的建立)请写出过程.
谢谢!

Answer 1

解答：
在空间直角坐标系中。
球体的方程：x^2+y^2+z^2=r^2
沿着x轴正方向，球体被分成若干个圆，他们以x轴为圆心，半径
R为x的函数R(x)=√r^2-x^2
体积V=π∫（√r^2-x^2）^2dx(积分上限为r,下限为-r)
=(4/3)r^3

Answer 2

半圆(x-r)^2+y^2=r^2--->y^2=2rx-x^2(y>=0)绕Ox轴（直径）旋转生成的曲面是半径为r的球，体积的计算公式是
(0-2r):pi∫y^2dx
=,,,,,,,,∫(2rx-x^2)dx
=pi(rx^2-x^3/3)|0->2r
=pi[(4r^3-8r^3/3)-(0-0)]
=4pir^3/3.