Question

设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为

设F(c,0)，B(0,b) 所以FB的斜率k`=-b/c 又渐进线斜率=b/a 得(-b/c)×(b/a)=-1 所以离心率e=((根号5)+1)/2 根号 5 怎么出来的“？

Answer 1

得(-b/c)×(b/a)=-1
b^2=ac
b^2=c^2-a^2
c^2-ca-a^2=0 两边同时除以a^2 得
e^2-e-1=0
e=(1+√5)/2或e=(1-√5)/2 双曲线e>1
所以
e=e=(1+√5)/2

追问

根号 5 怎么出来的“？

追答

求根公式
b^2-4ac=5
√(b^2-4ac)=√5

Answer 2

(－b/c)×(b/a)=－1
b²=ac
c²－ac－a²=0 【两边除以a²】
(c/a)²－(c/a)－1=0
e²－e－1=0
e=(1±√5)/2
考虑到双曲线的离心率e>1，则：e=(1＋√5)/2

追问

根号 5 怎么出来的“？

追答

方程ax²＋bx＋c=0的根是x=[－b±√(b²－4ac)]/(2a) 【求根公式】