Question

设正实数xyz满足x^2-3xy+4y^2-z=0则当z/xy取最小值时，x+2y-z的最大值为多少

Answer 1

解：
z=x²-3xy+4y²
z/(xy)=(x/y) -3 +4(y/x)
x、y均为正实数，x>0，y>0，x/y>0，y/x>0
由均值不等式得：(x/y)+4(y/x)≥2√[(x/y)(4y/x)]=4
当且仅当x/y=4y/x时取等号
此时，(x/y)²=4，x/y=2，x=2y
z=x²-3xy+4y²=(2y)²-3(2y)y+4y²=6y²
z/(xy)min=4-3=1
x+2y-z
=2y+2y-6y²
=-6y²+4y
=-6(y-⅓)²+⅔
y=⅓时，x+2y-z取得最大值(x+2y-z)max=⅔
x+2y-z的最大值为⅔。