Question

设函数f(x)=a2lnx-x2+ax(a>0) 求所有实数a,使e-1<=fx<=e2在x属于[1,e]恒成立

Answer 1

f'(x)=(a²/x)－2x＋a=(－2x²＋ax＋a²)/(x)=[－(2x＋a)(x－a)]/(x)
因为a>0，则f(x)在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减。
1、若a<1，则只需：f(e)≥e－1且f(1)≤e²，得：0<a<1；
2、若1≤a≤e，则只需：f(a)≤e²且f(1)≥e－1且f(e)≥e²；
3、若a>e，则只需：f(1)≥e－1且f(e)≤e²；

Answer 2

由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
（Ⅱ）证明：由题得，n（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增
要使e-1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
f(8)=a-8≥e-8
f(e)=a2-02+ae≤e2
解得a=e．