Question

设函数f(x)=a2lnx-x2+ax(a>0) 求所有实数a,使e-1<=fx<=e2在x属于[1,e]恒成立

Answer 1

解析：f'(x)=a^2/x-2x+a=(-2x^2+ax+a^2)/x=-(2x^2-ax-a^2)/x=-(2x+a)(x-a)/x>0
得到0<x<a,
f'(x)<0得到x>a.
即当a>0时,单调增区间是(0,a),减区间是(a,+无穷).
∵x∈[1 ,e]，e-1<=f(x) <=e^2恒成立
a>0时，函数f(x)在x=a处取极大值, f(a)=a^2lna=e^2==>a=e
∴在区间[1,e]上f(1)为最小值f(1)=a-1=e-1==>a=e；
∴满足题意所求的a=e

Answer 2

f'(x)=(a²/x)－2x＋a=(－2x²＋ax＋a²)/(x)=[－(2x＋a)(x－a)]/(x)
因为a>0，则f(x)在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减。
1、若a<1，则只需：f(e)≥e－1且f(1)≤e²，得：0<a<1；
2、若1≤a≤e，则只需：f(a)≤e²且f(1)≥e－1且f(e)≥e²；
3、若a>e，则只需：f(1)≥e－1且f(e)≤e²；