Question

微分方程y''+y'=xe^x 的通解

Answer 1

设p=y'
p'+p=xe^x
设u=u(x)与方程相乘，使等式左边变为(pu)'
up'+up=xue^x
由于乘法法则，(pu)'=up'+u'p
所以 u'=du/dx=u
分离变量积分
du/u=dx
u=e^x
代入得 d[pe^x]=xe^(2x)*dx
pe^x=∫xe^(2x)*dx=1/2*xe^(2x)-1/2*∫e^(2x)*dx=1/2*xe^(2x)-1/4*e^(2x)+C1（分部积分法）
y'=p=1/2*xe^x-1/4*e^x+C1*e^(-x)
y=∫y'dx=∫1/2*xe^x dx -∫1/4*e^x dx +∫C1*e^(-x) dx
=1/2*xe^x-∫1/2*e^x dx -1/4*e^x -C1*e^(-x)
=1/2*xe^x -1/2*e^x -1/4*e^x -C1*e^(-x) +C2
建议验算一下，反正思路就是这样。