Question

如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”。

如：8＝－12，16＝52－32，24＝72－52，因此8，16，24这三个数都是奇特数． （1）32和2008这两个数是奇特数吗？为什么？
（2）设两个连续奇数的2n－1和2n＋1（其中n取正整数），由这两个连续 奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）两个连续偶数的平方差（取正数）是奇特数吗？为什么？

Answer 1

解：
(1)32与2008都是奇特数。
设两个连续奇数为（2n－1）和（2n＋1）（其中n取正整数）并奇特数为w
则w=（2n+1）² -（2n－1）²
=8n
当w=32时
n=4（符合题意）
所以32为奇特数
当w=2008时
n=251（符合题意）
所以2008是奇特数
（2）是
由（1）得
奇特数=8n（n为正整数）
所以奇特数是8的倍数。
（3）不是
设两个连续偶数为（2n）和（2n+2）（其中n取正整数）
则 （2n+2）²—（2n）²=8n+4
=4（2n+1）
因为n取正整数
所以（2n+1）为奇数
所以4（2n+1）不为8的倍数
所以两个连续偶数的平方差（取正数）不是奇特数。

Answer 2

(1)
32是
32 = 9² - 7²

2008是
2008 = 503² - 501²

(2)是
(2N+1)² - (2N-1)²
= [ (2N+1) + (2N-1) ] *[ (2N+1) - (2N-1) ]
= 4N * 2
= 8 N

(3) 不是
连续偶数2N、2N+2：
(2N+2)² - (2N)²
= (2N+2+ 2N) *(2N+2- 2N)
= (4N +2) * 2
= 4(2N + 1)
只能被4整除、不能被8整除，不符合(2)中的规律，因此不是。