Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8． （Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1； （Ⅱ

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8． （Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1； （Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；

Answer 1

解：
（
I
）∵在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB=90
°，
AC=6
，
BC=8
，

∴
AB= AC2+BC2 =10
．

如图
1
，
设⊙
O1
与
Rt
△
ABC
的边
AB
，
BC
，
CA
分别切于点
D
，
E
，
F
．

连接
O1D
，
O1E
，
O1F
，
AO1
，
BO1
，
CO1
．

于是
O1D
⊥
AB
，
O1E
⊥
BC
，
O1F
⊥
AC
．

S
△
AO1C=1 2 AC
•
O1F=1 2 AC
•
r1=3r1
，
S
△
BO1C=1 2 BC
•
O1E=1
2 BC
•
r1=4r1
，
S
△
AO1B=1 2 AB
•
O1D=1 2 AB
•
r1=5r1
，
S
△
ABC=1
2 AC
•
BC=24
．

又∵
S
△
ABC=S
△
AO1C+S
△
BO1C+S
△
AO1B
，

∴
24=3r1+4r1+5r1
，

∴
r1=2
．

（
II
）如图
2
，连接
AO1
，
BO2
，
CO1
，
CO2
，
O1O2
，则

S
△
AO1C=1 2 AC
•
r2=3r2
，
S
△
BO2C=1 2 BC
•
r2=4r2
．

∵等圆⊙
O1
，⊙
O2
外切，

∴
O1O2=2r2
，且
O1O2
∥
AB
．

过点
C
作
CM
⊥
AB
于点
M
，交
O1O2
于点
N
，
则

CM=AC
•
BC AB =24 5
，
CN=CM-r2=24 5 -r2
．

∴
S
△
CO1O2=1 2 O1O2
•
CN=(24 5 -r2)r2
，

∴
S
梯形
AO1O2B=1 2 (2r2+10)r2=(r2+5)r2
．

∵
S
△
ABC=S
△
AO1C+S
△
BO2C+S
△
CO1O2+S
梯
形
AO1O2B
，

∴
3r2+4r2+
（
24 5 -r2
）
•
r2+
（
r2+5
）
r2=24
，

解得
r2=10 7
．

Answer 2

老大，麻烦以后出题的时候把图带上，好不好！

Answer 3

孩纸们！怎么自己不学习？？自己动手丰衣足食啊

Answer 4

图片呢？