Question

样证明“若向量组A可由向量组B线性表出，则A的秩不超过B的秩

Answer 1

设(a1,a2,...,am)是A向量组中的一个极大线性无关组构成的矩阵A'
设(b1,b2,...,bn)是B向量组中的一个极大线性无关组构成的矩阵B'
由A可以由B表述，说明存在矩阵C，满足A=BC
根据r(BC)<=r(B)得证

Answer 2

解题方式如下：

设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1，则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1
且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示.
所以存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)K
K为t1行s1列矩阵.
假如 t1<s1
则齐次线性方程组 Kx=0 有非零解x0
所以 (α1,α2,...,αs1)x0=(β1,β2,...,βt1)Kx0=0
即x0是齐次线性方程组(α1,α2,...,αs1)x=0的非零解
所以α1,α2,...,αs1线性相关, 矛盾.
所以 s1<=t1.
即有 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)

Answer 3

用极大无关向量组来求解，
设A的极大无关向量组A1(s个向量)，设B的极大无关向量组B1(t个向量)，由题得有A1=B1*K，K为t行s列矩阵
若KX=0有非零解，则A1X=0有非零解，与A1线性无关矛盾
故无非零解，则K可逆，则有
r(A1)＝r(B1*k)≤r(B1)