Question

设函数f(x)=(3x+4)/(x^2+1,g(x)=6a^2/x+a a>1/3 若对任意x0∈[0，a]总存在相应的x1，x2∈[0,a]，使得g（x

设函数f(x)=(3x+4)/(x^2+1）,g(x)=（6a^2）/（x+a） a>1/3 若对任意x0∈[0，a]总存在相应的x1，x2∈[0,a]，使得g（x1）《f（x0）《g（x2）成立 求实数a取值

Answer 1

设函数f(x)=(3x+4)/(x^2+1）,g(x)=（6a^2）/（x+a） a>1/3 若对任意x0∈[0，a]总存在相应的x1，x2∈[0,a]，使得g（x1）《f（x0）《g（x2）成立 求实数a取值
解析：∵函数f(x)=(3x+4)/(x^2+1）,g(x)=(6a^2)/(x+a) a>1/3
令f’(x)=(3-8x-6x^2)/(x^2+1)^2=0==>x1=1/3,x2=-3（舍）
∴函数f(x)在x=1/3处取极大值f(1/3)=9/2
G’(x)=-(6a^2)/(x+a)^2<0
∴函数g(x)在x>0时，单调减
∵对任意x0∈[0，a]总存在相应的x1，x2∈[0,a]，使得g(x1)<f(x0)<g(x2)成立
若g(a)=f(1/3)=9/2，则上述结论将不再成立
G(a)=6a^2/(2a)=3a=9/2==>a=3/2
∴对任意x0∈(0，a)总存在相应的x1，x2∈(0,a)，使得g(x1)<f(x0)<g(x2)成立
∴a=3/2

此题中x0的区间[0,a]，应为开区间，若为闭区间，当x0=端点值时，x1或x2之一就不会存在，所以这个区间应为开区间。

追问

这一题求的是a的取值范围……

追答

f(0)=4, g(0)=6a>4==>a>2/3
∴2/3<a<=3/2