Question

已知，二次函数f(x)=-x^2+2ax+1-a在x∈[0，1]上最小值为1/4，求实数a的值

Answer 1

解：f(x)=-x^2+2ax+1-a

=-(x^2-2ax-1+a)

=-[(x-a)^2-a^2-1+a]

=-(x-a)^2+a^2+1-a

A=-1<0

开口向下，

对称轴x=a。

因为区间[0,1]是恒定的，

二x=a对称轴是运动的，函数在[0,1]的单调型与对称轴的位置有关，可能在[0,1]上单调递减，也可能单调递增，也可能在[0,a]上单调递增，在（a,1]上单调递减，最小值可能在x=0处取，也可能在x=1处取，对于a的取值不同，最小值的值也不同，所以要对a进行分类讨论

1. a<0。

   x=a<0

堆成轴在0的左侧，

从图象上看，在[0,1]内单调递减，

x=1,fmin=f(1)=a=1/4

a=1/4不属于（-无穷，0）

（舍）

2.0<=a<=1

x=a在[0,1]内，

fmin=min{f(0),f(1)}

两个断电出去，开口向下，力对称轴越斤，函数值越大，

取零点

/a-0/=/a-1/

/a/=/a-1/

a=-(a-1)

a=-a+1

2a=1

a=1/2

1.0<=a<1/2

fmin=f(1)=-1+2a+1-a=a=1/4属于[0,1/2)

成立，取a=1/4

2.1/2<=a<=1

fmin=f(0)=1-a=1/4

a=1-1/4=3/4属于[1/2,1]

成立

a[0,1]内的解是｛1/4,3/4}

3.a>1

x=a在x=1的右侧

在[0,1]内单调递增，

x=0,fmin=f(0)=1-a=1/4

a=1-1/4=3/4不属于（1，+无穷）

舍

综上：a=1/4ora=3/4。

Answer 2

因为抛物线开口向下，所以最小值必然是f(0)，或者f(1)
而f(0)=1-a， f(1)=-1+2a+1-a=a
当f(0)<f(1)时，即1-a<a时，也即a>1/2时，1-a=1/4，解得a=3/4，满足a>1/2；
当f(0)≥f(1)时，即1-a≥a时，也即a≤1/2时，a=1/4，解得a=1/4，满足a≤1/2；
综上所述，a=1/4或者a=3/4