Question

高数求积分的一道题目,跪求高手帮忙 ,∫tanx√(1+1/cos^4) dx

Answer 1

∫ tanx · √(1 + 1/cos⁴x) dx
= ∫ tanx · √[(cos⁴x + 1)/cos⁴x] dx
= ∫ tanx · 1/cos²x · √(1 + cos⁴x) dx
= - ∫ 1/cos³x · √(1 + cos⁴x) d(cosx)
= - ∫ √(1 + y⁴)/y³ dy <-- y = cosx，dy = d(cosx)
= - ∫ √(1 + tan²z)/y³ · (sec²z)/(2y) dz <-- y² = tanz，2y dy = sec²z dz
= (- 1/2)∫ sec³z/y⁴ dz
= (- 1/2)∫ sec³z/tan²z dz
= (- 1/2)∫ seczcsc²z dz
= (- 1/2)∫ secz(cot²z + 1) dz
= (- 1/2)∫ secz dz - (1/2)∫ csczcotz dz
= (- 1/2)ln|secz + tanz| + (1/2)cscz + C
= (- 1/2)ln|y² + √(1 + y⁴)| + √(1 + y⁴)/(2y²) + C
= √(1 + cos⁴x)/(2cos²x) - (1/2)ln|cos²x + √(1 + cos⁴x)|+ C

Answer 2

令 u = √(1 + 1/cos⁴x) = √(1 + sec⁴x) ,
1 + sec⁴x = u², 微分得： 4 sec³x secx tanx dx = 2u du
=> tanx dx = u du / (2 sec⁴x) = u du / (2(u²﹣1))
∴ I = ∫ u² du / (2(u²﹣1))
= (1/2) ∫ [1+1/(u²﹣1)] du
= u/2 + (1/4) ln(u-1)/(u+1) + C
= (1/2) √(1 + 1/cos⁴x) + (1/4) ln [ (√(1 + 1/cos⁴x)﹣1) / (√(1 + 1/cos⁴x)+1) ] + C