a,b,c是正实数,比较a^3+b^3+c^3和a^2b+b^2c+c^2a的大小
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由基本不等式:
a^2+b^2≥2ab
得:a^2-ab+b^2≥ab
不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变！
可得:
(a+b)(a^2-ab+b^2)≥a^b
a^3+b^3≥a^2b+b^2a .........(1)
同理可得:
b^3+c^3≥b^2c+c^2b .........(2)
c^3+a^3≥c^2a+a^2c .........(3)
(1)式+(2)式+(3)式得
2(a^3+b^3+c^3)≥2(a^2b+b^2c+c^2a )
a^3+b^3+c^3≥a^2b+b^2c+c^2a
a^2+b^2≥2ab
得:a^2-ab+b^2≥ab
不等式两边同乘以a+b,不等号方向不变！
可得:
(a+b)(a^2-ab+b^2)≥a^b
a^3+b^3≥a^2b+b^2a .........(1)
同理可得:
b^3+c^3≥b^2c+c^2b .........(2)
c^3+a^3≥c^2a+a^2c .........(3)
(1)式+(2)式+(3)式得
2(a^3+b^3+c^3)≥2(a^2b+b^2c+c^2a )
a^3+b^3+c^3≥a^2b+b^2c+c^2a
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