Question

在锐角三角形abc中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b-c)sinC。 ...

在锐角三角形abc中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b-c)sinC。
(1)求A的大小
(2)求sinB+sinC的取值范围

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在锐角三角形abc中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC
(1)求A的大小
(2)求sinB+sinC的取值范围

Answer 1

解
[[[[1]]]]
由正弦定理可知
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
代入条件等式,可得:
2a²=(2b-c)b+(2c-b)c=2b²+2c²-2bc
∴bc=b²+c²-a²
由余弦定理,结合上面结果,可得
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2
即cosA=1/2,结合0＜A＜180º可知
A=60º
[[[[2]]]]
B+C=180º-A=120º
又三角形ABC为锐角三角形,故
-90º＜B-C＜90º
∴(√2)/2＜cos[(B-C)/2]≤1
∴由上面及和差化积公式
sinB+sinC
2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
=(√3)cos[(B-C)/2]
∴(√6)/2＜sinB+sinC≤√3

Answer 2

解：
(1)利用正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a/2R=sinA,b/2R=sinB,c/2R=sinC
代入：2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC
2a²=2b(b-c)+(2c-b)c
即 a²=b²+c²-bc
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2
所以 A=60°
(2)
sinB+sinC
=sinB+sin(120°-B)
=sinB+sin120°cosB-cos120°sinB
=(3/2)sinB+(√3/2)cosB
=√3[sinB*(√3/2)+cosB*(1/2)]
=√3*[sinB*cos30°+cosBsin30°]
=√3sin(B+30°)
∵ 是锐角三角形
∴ 0<B<90°，且B+60°>90°
∴ 30°<B<90°
∴ 60°<B+30°<120°
∴ sin(B+30°)∈(√3/2,1]
∴ sin(B+C)∈（3/2,√3]