Question

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,连结DE,DE的延长线与边BC相交于点F，AG//BC……

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,连结DE,DE的延长线与边BC相交于点F，AG//BC，交DE于点G，连结AF、CG。
（1）求证：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求证：四边形AFGC是正方形.

Answer 1

（1）证明：因为 AD=CD，点E是AC的中点，
所以 DE垂趋于 AC，
因为 角BAC=90度，
所以 DF//AB，
因为 DF//AB，E是AC的中点，
所以 点F是BC的中点，
又因为 角BAC=90度，直角形ABC是直角三角形，
所以 AF=BF。
（2）如果AB=AC，那么四边形AFCGJ是正方形。
理由如下：
因为 DF//AB，AG//BC，
所以 AG=BF，
因为 F是BC的中点，
所以 FC=BF=AG，
所以 四边形AFCG是平行四边形，
因为 AF=BF=FC，
所以 平行四边形AFCG是菱形，
又因为 AB=AC，F是BC的中点，
所以 AF垂直于BC，角AFC是直角，
所以 菱形AFCG是正方形