Question

求一个不定积分 ∫1／(1+x^2+x^4)dx

Answer 1

∫1／(1+x^2+x^4)dx

=(1/2)∫(1-x²+1+x²)／(1+x^2+x^4)dx

=(1/2)∫(1-x²)／(1+x^2+x^4)dx+(1/2)∫(1+x²)／(1+x^2+x^4)dx

分子分母同除以x²

=(1/2)∫(1/x²-1)／(1/x²+1+x²)dx+(1/2)∫(1/x²+1)／(1/x²+1+x²)dx

将分子放到微分之后

=-(1/2)∫1／(1/x²+1+x²)d(x+1/x)+(1/2)∫1／(1/x²+1+x²)d(x-1/x)

分母配方

=-(1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-1]d(x+1/x)+(1/2)∫1/[(x-1/x)²+3]d(x-1/x)

两项均可套公式直接积出了

=-(1/4)ln|(x+1/x-1)/(x+1/x+1)|+(1/(2√3))arctan[(x-1/x)/√3]+C

扩展资料：

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

Answer 2

本题可不用复数来解，不过技巧比较高，非常规题。
∫1／(1+x^2+x^4)dx
=(1/2)∫(1-x²+1+x²)／(1+x^2+x^4)dx
=(1/2)∫(1-x²)／(1+x^2+x^4)dx+(1/2)∫(1+x²)／(1+x^2+x^4)dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫(1/x²-1)／(1/x²+1+x²)dx+(1/2)∫(1/x²+1)／(1/x²+1+x²)dx
将分子放到微分之后
=-(1/2)∫1／(1/x²+1+x²)d(x+1/x)+(1/2)∫1／(1/x²+1+x²)d(x-1/x)
分母配方
=-(1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-1]d(x+1/x)+(1/2)∫1/[(x-1/x)²+3]d(x-1/x)
两项均可套公式直接积出了
=-(1/4)ln|(x+1/x-1)/(x+1/x+1)|+(1/(2√3))arctan[(x-1/x)/√3]+C

追问

请问阁下 这道题的答案只有一个吗
貌似和老师给出的答案不一样啊 请问阁下可以再算算吗 用那个换元法

追答

不定积分的答案表达形式不唯一的，只要本质上相差一个常数，都是正确的。我的方法是解这个题计算量比较小的一个方法，其它方法计算量都较大。你老师的结果和我的不一样，可能是方法不同吧。这个题还有另一个方法就是用有理函数的一般解法。

首先将分母因式分解为两个二次式：
x^4+x²+1=(x²+1)-x²=(x²+x+1)(x²-x+1)
然后将1/(x^4+x²+1)拆为两项：
1/(x^4+x²+1)=(ax+b)/(x²+x+1)+(cx+d)/(x²-x+1)
将右边通分后相加，与左边比较系数后确定a,b,c,d，然后再分母配方来作，太麻烦了，我不想做了。

Answer 3

∫ 1/(x⁴ + x² + 1) dx

= ∫ 1/[(x² + 1)² - x²] dx

= ∫ 1/[(x² + x + 1)(x² - x + 1)] dx

= ∫ (x + 1)/(2(x² + x + 1)) dx + ∫ (1 - x)/(2(x² - x + 1))

(1/2)∫ (x + 1)/(x² + x + 1) dx
= (1/2)∫ [(2x + 1)/(2(x² + x + 1)) + 1/(2(x² + x + 1))] dx
= (1/4)∫ (2x + 1)/(x² + x + 1) dx + (1/4)∫ 1/(x² + x + 1) dx
= (1/4)∫ 1/(x² + x + 1) d(x² + x + 1) + (1/4)∫ 1/[(x + 1/2)² + 3/4] d(x + 1/2)
= (1/4)ln|x² + x + 1| + (1/4) · (2/√3)arctan[(x + 1/2) · 2/√3] + C
= (1/4)ln|x² + x + 1| + [1/(2√3)]arctan[(2x + 1)/√3] + C

(1/2)∫ (x - 1)/(x² - x + 1) dx
= (1/2)∫ [1/(2(x² - x + 1)) - (2x - 1)/(2(x² - x + 1))] dx
= (1/4)∫ 1/(x² - x + 1) dx - (1/4)∫ (2x - 1)/(x² - x + 1) dx
= (1/4)∫ 1/[(x - 1/2)² + 3/4] d(x - 1/2) - (1/4)∫ 1/(x² - x + 1) d(x² - x + 1)
= (1/4) · (2/√3)arctan[(x - 1/2) · 2/√3] - (1/4)ln|x² - x + 1| + C
= [1/(2√3)]arctan[(2x - 1)/√3] - (1/4)ln|x² - x + 1| + C

所以∫ 1/(x⁴ + x² + 1) dx
= (1/4)ln|(x² + x + 1)/(x² - x + 1)| + [1/(2√3)]arctan[(2x + 1)/√3] + [1/(2√3)]arctan[(2x - 1)/√3] + C
= (1/4)ln|(x² + x + 1)/(x² - x + 1)| + [1/(2√3)]arctan[√3x/(1 - x²)] + C

第三到第四步需要这样设。
1/[(x² + x + 1)(x² - x + 1)] = (Ax + B)/(x² + x + 1) + (Cx + D)/(x² - x + 1)
用待定系数法就解到了。

Answer 4

这种题目都是直接进行分解，成为1/(x+xi)的形式就可以出来的
1+x^2+x^4 的根用求根公式很容易求出来（肯定是复数根），然后写成上面形式用待定系数法得到a1,a2,a3,a4得到如下式子，然后就出来了
a1/(x+x1) + a2/(x+x2) + a3/(x+x3) +a4/(x+x4)

追问

我很愚钝 阁下可以亲手解一遍吗

追答

1+x^2+x^4= (1+x^2)^2 - x^2 = (1+x+x^2)(1+x^2-x) = (x +0.5 +0.5*i根号3)(x +0.5 -0.5*i根号3)(x -0.5 +0.5*i根号3)(x -0.5 -0.5*i根号3)

以后利用
a1/(x+0.5 +0.5*i根号3) + a2/(x+0.5 -0.5*i根号3) + a3/(x-0.5 +0.5*i根号3) +a4/(x-0.5 -0.5*i根号3)
= 1/(1+x^2+x^4)，左边进行通分最后肯定能求出a1,a2,a3,a4,然后就出来
计算很繁琐，我就不帮你算了