Question

设A为m×n矩阵，且非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，则___。 A. m=n B. 秩(A)=m C. 秩(A)= n D. 秩(A)

Answer 1

仅供参考.我认为选 C.
用 f 表示与矩阵 A 对应的线性映射
f : K^n -----> K^m.
如果齐次方程 A x = b 有非零解,显然 b 在 f 下的原像不唯一.所以 A x = f(x) = b 有唯一解的充分必要条件是
1) b 属于 像空间 Im (f)
并且 2) 核空间 Ker (f) = {0}.

利用增广矩阵,条件1) 等价于
rank(A) = rank(A,b)
另一方面,利用维数定理
n = dim. Im(f) + dim. Ker(f)
条件 2) 等价于 rank(A) = n .

Answer 2

我认为选C，对于n元非齐次方程组有唯一解的充分必要条件是R（A）＝R（A，b）＝n

Answer 3

Ax=b有唯一解↔r(A)=r(A|b)=n ,所以C是正确的~~

Answer 4

选D
与m没有关系,
解不唯一,所以是无数解,从而
R(A)<未知数个数,即
R(A)<n