Question

如图，已知AD平行BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分角DAB，角CBA，BE交AD的延长线于点F。

如图，已知AD平行BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分角DAB，角CBA，BE交AD的延长线于点F。
（1）求证：AE垂直BE（2）求证：AB=AF（3）求证：AD+BC=AB

Answer 1

第一问，已经回答，不再赘述。下面来证明二三小问。
（2） 证明：由AD//BC 得AF//BC， 则∠CBF=∠AFB（内错角）
又EB为∠CBA的角平分线，即：∠ABF=∠CBF=∠AFB ，∴△ABF为等腰△
则，AB=AF
（3）　　　　连接BD,CF，由上已知，E为BF中点，则E亦为DC中点 ，
　　　　　　∴　，四边形DBCF为平行四边形（对角线相互平分）
　　　则，DF＝BC，　　∴ BC+AD＝AF＝AB，证毕

Answer 2

（1）∵AD//BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE平分∠DAB、BE平分∠CBA
∴∠EAB+∠ABE=1/2(∠DAB+∠ABC)=90°
∴ ∠AEB=90° ，
∴AE⊥BE
（2） 证明：由AD//BC 得AF//BC， 则∠CBF=∠AFB（内错角）
又EB为∠CBA的角平分线，即：∠ABF=∠CBF=∠AFB ，∴△ABF为等腰△
则，AB=AF
（3） 连接BD,CF，由上已知，E为BF中点，则E亦为DC中点 ，
　　　　　　 ∴　，四边形DBCF为平行四边形（对角线相互平分）
　　　 则，DF＝BC，　　∴ BC+AD＝AF＝AB

Answer 3

（1）∵AD//BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE平分∠DAB、BE平分∠CBA
∴∠EAB+∠ABE=1/2(∠DAB+∠ABC)=90°
∴ ∠AEB=90° ，

∴AE⊥BE
（2） 证明：由AD//BC 得AF//BC， 则∠CBF=∠AFB（内错角）
又EB为∠CBA的角平分线，即：∠ABF=∠CBF=∠AFB ，∴△ABF为等腰△
则，AB=AF
（3）　　　　连接BD,CF，由上已知，E为BF中点，则E亦为DC中点 ，
　　　　　　∴　，四边形DBCF为平行四边形（对角线相互平分）
　　　则，DF＝BC，　　∴ BC+AD＝AF＝AB，证毕

Answer 4

∵AD//BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE平分∠DAB、BE平分∠CBA
∴∠EAB+∠ABE=1/2(∠DAB+∠ABC)=90°
∴ ∠AEB=90° ，

∴AE⊥BF

追问

请注意，我问了三个问题，且第一个问题是证明AE⊥BE

追答

∵AD//BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE平分∠DAB、BE平分∠CBA
∴∠EAB+∠ABE=1/2(∠DAB+∠ABC)=90°
∴ ∠AEB=90° ，

∴AE⊥BE