Question

已知二次函数f(x)=ax^2+2x+c(x属于R)的值域为[0，正无穷大），求（a+1）/c+（c+1）/a的最小值？

Answer 1

二次函数f(x)=ax^2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)
∴△=0、a＞0
∴4-4ac=0
∴ac=1
∴(a+1)/c+(c+1)/a=（a²﹢a﹢c²﹢c）/ac
=a²+c²+a+c

a²+c²≥2ac=2
a+c≥2√ac=2

∴a²+b²+a+b≥4
∴最小值为4

Answer 2

因为f(x)的值域为[0，正无穷大），所以a>0，2^2-4ac=0 ,所以ac=1 则易得c>0
（a+1）/c+（c+1）/a=a^2+c^2+a+c/ac=a^2+c^2+a+c>=2ac+2根号ac
当且仅当a=c=1时，有最小值4