Question

已知函数f(x)=x^2+a／x+1,,（1）若f(x)在点（1，f(1)）处的切线斜率为1／2，求实数a的值。

2）若f(x)在x=1处 取得极值，求函数f(x)的单调区间

Answer 1

解：（1）f′(x)=2x(x+1)-x2-a (x+1)2 =x2+2x-a (x+1)2 ，
若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1 2 ，则f′(1)=1 2 ．
所以，f“(1)=3-a 4 =1 2 ，得a=1．
（2）因为f（x）在x=1处取得极值， 满意回答是错的
所以f'（1）=0，即1+2-a=0，a=3，
∴f′(x)=x2+2x-3 (x+1)2 ．
因为f（x）的定义域为{x|x≠-1}，所以有：
所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-3），（1+∞），单调递减区间是（-3，-1），（-1，1）．

Answer 2

f(x)=x^2+a/(x+1)
1）f'(x)=2x-a/(x+1)^2
所以f'(1)=2-a/(1+1)^2=2-a/4=1/2
所以a=6
2）f(x)在x=1处取得极值，说明f'(1)=2-a/4=0，所以a=8
所以f'(x)=2x-8/(x+1)^2=2(x^3+2x^2+x-4)/(x+1)^2
=2[x^3-x^2+3x^2-3x+4x-4]/(x+1)^2
=2(x-1)(x^2+3x+4)/(x+1)^2
=2(x-1)[(x+3/2)^2+7/4]/(x+1)^2
当x≥1时，f'(x)≥0，f(x)单调递增；当x<1且x≠0时，f'(x)<0，f(x)单调递减
所以函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)，单调递减区间为(-∞,0)∪(0,1)