Question

高一数列 求助啊

a1=2,b1=4 已知an=(n+1)n ,bn=(n+1)^2 ,求证：1/(a1+b1) +1/(a2+b2)+..+1/an+bn<5/12

Answer 1

(an+bn)=1/(2n²+3n+1)<1/[2n(n+1)]=(1/2)*(1/n - 1/(n+1) )
当n≥2时，左边<1/(2+4) +1/2(1/2 -1/3+1/3-1/4+...+1/n -1/(n+1) )=1/6 + (1/2)* (1/2 - 1/(n+1))
=1/6+1/4 - 1/[2(n+1) ]=5/12 - 1/[2(n+1)]<5/12
当n=1时，左边=1/6<5/12,故成立
∴综上，得证

追问

这个是放缩法吗

追答

嗯。

追问

但为什么要把n+1给去掉呢，而不是只去个1？

追答

去掉1后无法裂项呀，你可以先因式分解2n²+3n+1=(2n+1)(n+1)再缩小为2n(n+1)

追问

放缩法有什么技巧吗，那我只能凑出来吗，这样不是很麻烦？ 能不能在百度hi上聊下，这个是最后的追问了

追答

记住一些常用公式：1/n(n+k)=(1/k)(1/n -1/(n+1) )等等
而这一道题就是最简单最常用放缩公式：1/n(n+1)<1/n -1/(n+1)

放缩当然具有灵活性，有时候也不一定能够放处来，多掌握一些分裂公式，只能去尝试，不一定成功，比如这道题即使使用1/n(n+1)<1/n -1/(n+1)的放缩，但是分项成功以后，也不能说你一定能够做出来，这道题其实如果第一项也进行放缩是失败的，所以从而从而第二项开始，但是没有尝试下去的时候，也不能保证第二项能够算出来，也许是第三项开始放缩呢，第四项呢...

放缩法具有灵活性，一般出现在高考题目的压轴题中.

Answer 2

给你个提示：1+1/2^2+1/3^2+......1/n^2<=π/6.