Question

f(x)=ax^2(x+2)-|x|有四个不同零点，求a的取值范围

Answer 1

显然x=0一定是f(x)的零点，

而当x>0时，
f(x)=ax^2(x+2)- x，
当x<0时，
f(x)=ax^2(x+2) +x，

即这两种情况下共有3个不同零点，
所以x在大于或小于0时，f(x)=0都一定是有根的，即判别式大于等于0

当x>0时，
令f(x)=ax^2(x+2)- x=0，
即ax^2 +2ax -1=0，
令其判别式=4a^2 +4a ≥0，
解得a≥0或a≤ -1
由韦达定理可以知道，
两根之和为 -2，
显然不可能有两个正数根，
故两根异号，
所以两根之积 -1/a <0，
所以a>0，
且x>0时 f(x)只有一个零点

所以
当x<0时，f(x)一定有两个零点，
令f(x)=ax^2(x+2) +x=0，
即ax^2 +2ax +1=0，
令其判别式=4a^2 -4a >0，
解得a>1或a<0，
又两根均小于0，
故两根之积大于0，
由韦达定理可以知道，
两根之积为 1/a，
故1/a >0，即a>0，
所以舍去a<0的可能，只能a>1

取x>0和x<0时a取值范围的交集，
综上所述，
若f(x)有4个不同零点，则a的取值范围应为 a>1