Question

f (x)=x^4+ax^3+2x²+b，若对于任意的a∈[-2,2]，不等式f（x）≤1在[-1,0]上恒成立，求b的取值范围

过程看起来简单，但是很难想，希望大家解释清楚每条过程
谢谢

Answer 1

f (x)=x⁴+ax³+2x²+b，若对于任意的a∈[-2,2]，不等式f（x）≤1在[-1,0]上恒成立，求b的取值范围
解：f′(x)=4x³+3ax²+4x=x(4x²+3ax+4)
由于-2≦a≦2，故a²≦4，因此4x²+3ax+4的判别式Δ=9a²-64≦36-64=-28<0，故对任何x都有
4x²+3ax+4>0；于是f′(x)与x同号：当x<0时f′(x)<0；当x>时f′(x)>0；故在-2≦a≦2的条件下，
f(x)在区间[-1，0]上单调减；minf(x)=f(0)=b；maxf(x)=f(-1)=1-a+2+b=3-a+b；故为使不等式
f(x)≤1在[-1，0]上恒成立，就应使f(x)的最大值3-a+b≦1，即应使b≦a-2；由于-2≦a≦2，
故-4≦a-2≦0；故应取b≦-4.