Question

求方程x^3-y^3+x^2y-xy^2=32的正整数解的个数

Answer 1

x^3-y^3+x^2y-xy^2=32
化简后(x-y)(x^2+xy+y^2)+xy(x-y)=32
(x-y)(x+y)^2=32
x-y是偶数，（x+y)^2也必定是偶数，只有偶数相乘结果才是偶数，正整数的平方≤32且是偶数的，只有4和16，即（x+y)^2=4或16，显然等于4不可能，等于4的话，x-y=8，不成立，所以（x+y)^2=16，算出x+y=4，x-y=2，求得x=3，y=1.

Answer 2

x^3-y^3+x^2y-xy^2=32
(x-y)(x^2+xy+y^2)+xy(x-y)=32
(x-y)(x+y)^2=32
通过分析讨论得到
x-y=2 (x+y)^2=16 x=3 y=1