Question

设f(x)连续函数，且满足方程f(x)-2∫(大x小0)f（t）dt=x^2+1,求f(x)

如图

Answer 1

两边对x求导得：
f'-2f=2x
特征根为2, 故y1=ce^(2x)
特解y*=ax+b
a-2(ax+b)=2x
-2a=2, a-2b=0
a=-1, b=-1/2, y*=-x-1/2
f(x)=y1+y*=ce^(2x)-x-1/2
再代入原方程得：ce^(2x)-x-1/2-2[ c/2*e^(2x)-x^2/2-x/2-c/2]=x^2+1
-x-1/2+x^2+x+c=x^2+1
c=1.5
因此f(x)=1.5e^(2x)-x-0.5