Question

过点P(2,1)作椭圆x2+4y2=16的弦,使P是此弦的一个三等分点，则此弦所在直线方程？

具体过程和答案，谢谢！

Answer 1

解：设过P点的直线方程(y-1)/(x-2)=k y=kx--2k+1 代入椭圆方程得：
(4k^2+1)x^2+ (8k--16k^2)x+(16k^2--16k--12)=0 设交点A(X1，Y1)， B(X2，Y2)
x1+x2=(16k^2--8k)/(4k^2+1) x1x2=+(16k^2--16k--12)/(4k^2+1)
P是此弦的一个三等分点 (x1--2)/(2--x2)=1/2 x2=6--2x1 6-x1=(16k^2--8k)/(4k^2+1)
x1=6--(16k^2--8k)/(4k^2+1) x1x2=6x1--2x1^2=+(16k^2--16k--12)/(4k^2+1)
用x1=6--(16k^2--8k)/(4k^2+1)代入消去x1.
6[6--(16k^2--8k)/(4k^2+1)]--2[6--(16k^2--8k)/(4k^2+1)]^2=+(16k^2--16k--12)/(4k^2+1)
2[6--(16k^2--8k)/(4k^2+1)]^2=(32k^2+64k+48)/ (4k^2+1)
[4k^2+4k+3]^2/(4k^2+1)=[(4k^2+1)+(8k+5)]
[(4k^2+1)+(4k+2)]^2=(4k^2+1)[(4k^2+1)+(8k+5)]
2(4k^2+1)(4k+2)+(4k+2)^2=(4k^2+1)(8k+5) --(4k^2+1)+16k^2+16k+4=0
12k^2+16k+3=0 k =(√7--4)/6 或 k=--(√7+4)/6
直线方程为：(y--1)/(x--2)=--(√7+4)/6 或 (y--1)/(x--2)=(√7--4)/6

验证 k=--(√7+4)/6=--1.10762522 A(3.6457538,y1) B(1.177123,y2)
k==(√7--4)/6=--0.22571 A(3.82288,y1) B=(--1.645736, y2)