Question

设f(x)连续函数，且满足方程f(x)-2∫(x到0)f（t）dt=x^2+1,求f(x)

Answer 1

因为f(x)连续，则∫[0→x] f(t) dt可导，
而f(x)=2∫[0→x] f(t) dt+x²+1，因此f(x)可导
f(x)-2∫[0→x] f(t) dt=x²+1两边对x求导得：
f '(x)-2f(x)=2x，一阶线性微分方程
将x=0代入原式得：f(0)=1，这是初始条件
套公式：
f(x)=e^(∫2dx)(∫ 2xe^∫-2dx dx + C)
=e^(2x)(∫ 2xe^(-2x) dx + C)
=e^(2x)(-∫ x d[e^(-2x)] + C)
=e^(2x)(-xe^(-2x)+∫ e^(-2x)dx + C)
=e^(2x)(-xe^(-2x)-(1/2)e^(-2x) + C)
=-x-1/2+Ce^(2x)
将初始条件f(0)=1代入得：1=-1/2+C，则C=3/2
f(x)=-x-1/2+(3/2)e^(2x)

Answer 2

ƒ(x) - 2∫(0→x) ƒ(t) dt = x² + 1
ƒ'(x) - 2ƒ(x) = 2x <--两边求导
即
y' - 2y = 2x，e^∫ (- 2) dx = e^(- 2x)
y' · e^(- 2x) - 2y · e^(- 2x) = 2xe^(- 2x)
(ye^(- 2x))' = 2xe^(- 2x)
ye^(- 2x) = 2∫ xe^(- 2x) dx = (2/(- 2))∫ x de^(- 2x) = - xe^(- 2x) + ∫ e^(- 2x) dx
ye^(- 2x) = - xe^(- 2x) - (1/2)e^(- 2x) + C
==> y = - x - 1/2 + Ce^(2x)
即ƒ(x) = - x - 1/2 + Ce^(2x)，C为任意常数