Question

正11边形任取3个顶点组成一个三角形,其中三边都大于正11边形边长的三角形有多少个？

Answer 1

解题思路：
如果知道固定其中1个顶点，有多少个三角形边长皆大于正11边形边长的话，比如说是X,那么总共有11X/3个满足条件的三角形。因为，所有顶点位置皆是对称的，将所有的加起来，每个三角形都被算了3次。

好，问题转化成如何求其中1个顶点出发满足的三角形个数。直接的思路是去求从此点出发边不相临的三角形，但这样考虑问题发现很负杂。为此，我们可采用逆向思维，先求以此点出发所有的三角形个数，再去找其中一条边是正11边形边长的三角形个数，再求其中两条条边是正11边形边长的三角形个数。不可能出现3条边都是正11边形边长的三角形。
以此点出发，所有三角形个数为C(10,2) = 10*9/2。
以此点出发，只有一条边为11边形边长三角形个数，为7+7+7 =21。
以此点出发，两条条边为11边形边长三角形个数只有3个。

所以最终结果为 (10*9/2 -21-3）*11/3 = 77。
答： 共有77个三边都大于正11边形边长的三角形。
其实可以写出该类问题的通式，若边长为n（n>=5）,满足条件的三角形个数是
( (n-1)(n-2)/2 - (n-4)*3 -3 )*n/3 。n=5时，结果为0，即没有满足条件的三角形。