Question

微分方程dy／dx=-xy^2-y／x的通解，求详细过程~谢谢！

Answer 1

解：设y=1/z，则原方程变形为 xz'-z=x²......(1)
∵齐次方程xz'-z=0的通解是z=Cx (C是积分常数)
∴设方程(1)的解为z=C(x)x (C(x)是关于x的函数)
带入方程(1)得C'(x)=1
==>C(x)=x+C (C是积分常数)
==>z=x²+Cx
==>方程(1)的通解是z=x²+Cx
==>(x²+Cx)y=1
故原方程的通解是(x²+Cx)y=1 (C是积分常数)。

Answer 2

解：设y=1/z，则原方程变形为
xz'-z=x²......(1)
∵齐次方程xz'-z=0的通解是z=Cx
(C是积分常数)
∴设方程(1)的解为z=C(x)x
(C(x)是关于x的函数)
带入方程(1)得C'(x)=1
==>C(x)=x+C
(C是积分常数)
==>z=x²+Cx
==>方程(1)的通解是z=x²+Cx
==>(x²+Cx)y=1
故原方程的通解是(x²+Cx)y=1
(C是积分常数)。

Answer 3

移项得：y'/y^2+1/xy+x=0
令u=1/y，则，u'=-y'/y^2，代入得：u‘-u/x-x=0
这是一阶线性微分方程，通解为：u=Cx+x^2
即：y=1/(Cx+x^2)

Answer 4

dy/dx=-x/y
即ydy=-xdx
两边积分
∫ydy=∫-xdx
所以y²/2=(-x²+C)/2
y²=-x²+C
所以y=√(C-x²)