Question

如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接BE，∠ABE=30°，BE=DE

如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接BE，∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN∥BD，与BE相交于点N．
（1）如果AB=2 3，求边AD的长；
（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，连接CN．过点M作MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长；
（3）试判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
AB=2根号3

Answer 1

（1）∵矩形ABCD∴∠A=90°∴△ABE是直角三角形∴tan∠ABE=AE:AB=AE:2根号3=根号3:3∴AE=2∴AB²+AE²=BE²∴BE=4∴DE=4∴AD=AE+DE=2+4=6.

(2)联结CM，交BD于点G（图2）

∵∠A=90°∴△ABD是直角三角形∴AB²+AD²=BD²∴BD=4根号3∵sin∠ADB=AB:BD=2根号3：4根号3=1:2∴∠ADB=30°∵M是DE中点∴EM=DM=1/2DE=1/2×4=2∵MN∥BD∴MN:BD=EM:DE=1：2∴MN=2根号3∵矩形ABCD∴∠ADC=90°∴△CDM是直角三角形∴DM²+CD²=CM²∴CM=4在Rt△CDM中，cos∠CMD=DM:CM=2：4=1:2∴∠CMD=60°∵∠CMD+∠MDG+∠DGM=180°∴∠DGM=180°-30°-60°=90°∵MN∥BD∴∠DGM=∠CMN=90°∴△CMN是直角三角形∴MN²+CM²=CN²∴CN=2根号7∵S△CMN=1/2MN×MC=1/2CN×MF∴MF=MN×MC÷CN=2根号3×4÷2根号7=4根号21/7.

(3)BE=DM+根号3/3 MN

设AE=1在Rt△ABE中，tan∠ABE=AE:AB=1：AB=根号3:3∴AB=根号3，sin∠ABE=AE:BE=1：BE=1：2∴BE=2∴DE=2在Rt△ABD中，AB²+AD²=BD²，BD=2根号3∵MN∥BD∴MN:BD=EM:DE∴MN:2根号3=EM：2∴EM=根号3/3 MN∵BE=DE=EM+DM∴BE=DM+根号3/3 MN

希望被您采纳！谢谢！

Answer 2

（1）PD=BQ，三角形EQP的形状已经明确，就是有EQ=（根号三）/3PQ 家起来不就是BE吗 （2）AE=BE/2，ED=BE，得ED=2AE，ED=4，AE=2。此三角形中以PD为底好做一些，高的话过Q做垂线可以得出高=PQ/2（在矩形中通过三角关系可知角DBC=30）第一问中算出EP=EQ=（根号3）/3PQ，则PD=ED-EP=4-（根号3）/3PQ最后就是S=x(4-√3/3x)/4 (3)这个的话用坐标系好一些吧，建立一个坐标系，写出P坐标，再找QC的斜率从而得出PF的斜率，得到PF的方程，BD的方程很好写，然后把BD与PF联立得到G点坐标，再根据P点和G点坐标得到PG的长。（也许有更简单的方法，不过我要睡觉了，嘻）

Answer 3

图呢

追问

图有了