Question

如图1，在△ABC中，高AD与高BE的交点为H，且BH=AC，则角ABC=

（1）探究一：在△ABC中,高AD与高BE的交点为H，且BH=AC,则∠ABC=
（2）探究二：已知，如图2，在Rt△ABC中，AC=CB，∠ABC=90°，AE⊥BE，BE交AC于点D，且AE=1/2BD，是说明BE平分∠ABC
（3）探究三：如图3，在△ABC中，AC=CB,∠ABC=90°，∠A的平分线交BC于点D，过B作BE⊥AD于点E，试说明AD=2BE

Answer 1

解：∵∠AHE+∠HAE=90°，∠C+∠HAE=90° ∴∠AHE=∠C（同角的 余角 相等） 又∵∠AHE=∠BHD ∴∠BHD=∠C 又∵∠ADC=∠BDH=90°，BH=AC ∴△ADC≌△BDH(AAS) ∴BD=AD ∴△ABD是 等腰直角三角形 ∴∠ABC=45°

Answer 2

（1） 解：∵∠AHE+∠HAE=90°，∠C+∠HAE=90°
∴∠AHE=∠C（同角的 余角 相等）
∵∠AHE=∠BHD
∴∠BHD=∠C
∵∠ADC=∠BDH=90° BH=AC
∴△ADC≌△BDH(AAS)
∴BD=AD
∴△ABD是 等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
（2）∵AF=DB △AFC与△BDC均为直角三角形
∴AF=DB=2AE
∵BE为AF的垂直平分线
∴BE为∠ABC的角平分线
（3）延长BE与AC的延长线相交于点F
∵AD是∠CAB的平分线
∴∠FAE=∠BAE
∵BE垂直AE于E
∴∠AEF=∠AEB=90°
∵AE=AE
∴直角△FAE和直角△BEA全等
BE=EF=1/2BF
∴BF=BE+EF=2BE
∵AC=BC
∴∠CAB=∠ABC
∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°
∠ACB=90°
∠CAB=∠ABC=45°
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD=1/2∠CAB
∠CAE=∠EAB=22.5°
∵∠AEB=90°
∠AEB+∠EAB+∠ABC+∠CBE=180°
∴∠CBE=22.5°
∠FAE=∠FBC=22.5°
∵∠ACD+∠BCF=180° ∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF=90°
∵AC=BC(已证）
∴△ACD和△BCF全等（ASA）
∴AD=BF
∴AD=2BE