Question

在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形

若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4 根号2 CD=2，求线段CP的长

Answer 1

过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．

∴DQ=4-x，

△AQD∽△DCP，

∴CP DQ =CD AQ ，

∴CP 4-x =x 4 ，

∴CP=-x2 4 +x．

②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45°，

∴AQ=CQ=4，

∴DQ=4+x．

过A作AQ⊥BC，

则△AQD≌△ACF．

∴CF⊥BD，

∴△AQD∽△DCP，

∴CP DQ =CD AQ ，

∴CP 4+x =x 4 ，

∴CP=x2 4 +x．

Answer 2

解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．

（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB=45°，
∴∠AGD=45°，
∴AC=AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．
∴DQ=4-x，
△AQD∽△DCP，
∴CP DQ =CD AQ ，
∴CP 4-x =x 4 ，
∴CP=-x2 4 +x．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45°，
∴AQ=CQ=4，
∴DQ=4+x．
过A作AQ⊥BC，
则△AQD≌△ACF．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴CP DQ =CD AQ ，
∴CP 4+x =x 4 ，
∴CP=x2 4 +x．

Answer 3

过点A作AQ⊥BC交CB的延长线 于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4． ∴DQ=4-x， △AQD∽△DCP， ∴CP DQ =CD AQ ， ∴CP 4-x =x 4 ， ∴CP=-x2 4 +x． ②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45°， ∴AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x． 过A作AQ⊥BC， 则△AQD≌△ACF． ∴CF⊥BD， ∴△AQD∽△DCP， ∴CP DQ =CD AQ ， ∴CP 4+x =x 4 ， ∴CP=x2 4 +x．