Question

如图，AB是⊙O的直径，AB＝10,

如图，AB是⊙O的直径，AB＝10,弦AC的长为6,D为半圆中点，AE平分∠CAB,求∠AOE的值。

Answer 1

解：过点E分别作EG垂直AB于G ,EM垂直AC于M EN垂直BC于N，过点C作于CH垂直AB于H
所以S三角形ACB=1/2AB*CH
角EGO=角CHB=90度
所以EG平行CH
所以EG/CH=EF/CF
因为AB是圆O的直径
所以角ACB=90度
所以三角形ACB是直角三角形
所以S三角形ACB=1/2AC*BC
AB^2=AC^2+BC^2
因为AB=10 AC=6
所以BC=8
所以CH=24/5
因为D是半圆的中点
所以弧AD=弧BD
因为角ACD=1/2弧AD
角BCD=1/2弧BD
所以角ACD=角BCD
所以CD是角ACB的平分线
所以AF/.BF=AC/BC=6/8=3/4
所以AF=10*(3/7)=30/7
因为AE平分角BAC
所以CE/EF=AC/AF=7/5
E是三角形ABC的内心
所以AG=AH
CM=CN
BG=BN
因为AB=AG+BG
AC=AM+CM
BC=CN+BN
所以10-AG=8-(6-AG)
所以AG=4
因为OA=OB=1/2AB
所以OA=5
因为OG=OA-BG=1
因为CF=CE+EF
所以EF/CF=5/12
所以EG/CH=5/12
所以EG=2
因为角EGO=90度（已证）
所以三角形EGO是直角三角形
所以OE^2=EG^2+OG^2
sin角AOE=EG/OE
所以OE=根号5
所以sin角AOE=2/根号5=2倍根号5/5
所以sin角AOE的值是5分之2倍根号5）

Answer 2

连接BC,BC=√(AB^2-AC^2)=√(10^2-6^2)=8
∵AE是∠CAB平分线
∴∠CAE=∠EAO
∵OA=OE
∴∠AEO=∠EAO
∵∠CAE=∠EAO,∠AEO=∠EAO
∴∠CAE=∠AEO
∴AC//OE
∴∠CAB=∠BOE
∵∠AOE+∠BOE=180
∴sin∠AOE=sin∠BOE
∵∠CAB=∠BOE
∴sin∠CAB=sin∠BOE
又sin∠AOE=sin∠BOE
∴sin∠AOE=sin∠CAB=BC/AB=8/10=4/5
∴sin∠AOE=4/5

Answer 3

因为CD是角平分线，AE是角平分线，所以E是内点（内切圆的圆心）或三条角平分线的交点。

过点E做EF垂直AO于F，根据面积法可得EF的长度。
进一步可得AF的长度。
从而FO的长度可求。
所以结论可求。

Answer 4

不知道