Question

考研高数偏导数问题！

图片上面说偏导数在该点存在但是偏导数在该点不连续是一种什么样的情况有没有类似的函数可以举例说明？

Answer 1

把二元函数想像成平面上的函数，则【连续】需要在各个方向（横的，竖的，斜的）直线上都连续；而对x的【偏导数】存在只说明函数限制到每条横的直线（y=a）上后作为x的一元函数可导，对y的偏导数存在只说明函数限制到每条竖的直线（x=a）上后作为y的一元函数可导。

最简单的例子：定义二元函数在左半平面取0，右半平面取1，则它在每条竖的直线上都可导（因为是常数），而在横的直线上不连续（左0右1），所以它对y的偏导数存在但不连续；类似地，定义二元函数在下半平面取0，上半平面取1，则它对x的偏导数存在但不连续。
即使二元函数对x和y的偏导数都存在，只说明它在所有横的和竖的直线上可导，理论上仍有可能在某条斜的直线上不连续。这种函数没有上面那么容易想，但确实是存在的，一般微积分书上会给出标准的例子：f(x,y)在坐标原点取0，其它地方=xy/(x^2+y^2)。

推广一下，一般的多元函数可以想像成高维空间上的函数，连续需要在各个方向的平面上都连续，而偏导数存在只说明在所有和坐标平面平行的平面上可导－－后者推不出前者。 一元函数不会有这种问题，因为直线上只有一种方向

这其实是连续的一个证明问题
左右极限相等，则偏导存在。但此时的极限不一定等于该点的导数值，明白吗？
证明偏导数连续，则是要证明左右极限相等并且要等于该点的偏导数值
这个也可以这么说，有点类似可去间断点~（这只是个比方）

Answer 2

有很多。偏导存在，不能说明连续。偏导连续是一个很强的条件。