Question

【急】如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D为BC中点,∠EDF=90°,其两边分别交AB于E,交AC于D

1）如果∠A=60°，求∠D的度数
2）如果∠A=α，求∠D的度数
上题错误。
如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D为BC中点,∠EDF=90°,其两边分别交AB于E,交AC于F，求四边形AEDF的面积。

Answer 1

证明：（1）连接AP．

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，

∴AP=PC=BP（直角三角形斜边上的中线是斜边长的一半）；

在直角三角形ABP中，∠B=∠BAP=45°；

在直角三角形APC中，∠PAC=∠C=45°；

∴∠EAP=∠C=45°；

∵∠FPE=∠APC=90°，

∴∠CPF=∠APE；

∴在△AEP与△CPF中，

∠EAP=∠C=45°，

AP=CP，

∠CPF=∠APE，

∴△AEP≌△CPF（ASA），

∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）；

（2）∵△AEP≌△CPF，

∴S△AEP=S△CPF（全等三角形的面积相等）；

又∵S四边形AEPF=S△AEP+S△AFP，

∴S四边形AEPF=S△APC=1 2 S△ABC；

即S四边形AEPF=1 2 S△ABC．

Answer 2

△ABC中，∠A=90°，AB＝AC＝4，D为BC中点，∠EDF＝90°，其两边分别交AB于E，交AC于F，求四边形AEDF的面积。
［解］
∵∠BAC＝90°、BD＝CD，∴AD＝BD＝CD、∠DBE＝∠EAD＝∠FAD＝∠FCD＝45°。
∵AE⊥AF、DE⊥DF，∴A、E、D、F共圆，∴∠AED＝∠CFD、∠AFD＝∠BED。
∵∠EAD＝∠FCD、∠AED＝∠CFD、AD＝CD，∴△AED≌△CFD，∴S(△AED)＝S(△CFD)。
∵∠AFD＝∠BED、∠FAD＝∠EBD、AD＝BD，∴△AFD≌△BED，∴S(△AFD)＝S(△BED)。
∴S(△AED)＋S(△AFD)＝S(△CFD)＋S(△BED)，
∴S(AEDF)＝S(△ABC)－S(AEDF)，
∴S(AEDF)＝（1/2）S(△ABC)＝（1/2）（1/2）AB×AC＝（1/4）×4×4＝4。