Question

已知函数f(x)=1/3x^3+a/2x^2+bx+c，若a，b为从区间[0，2]上任意去出两个数，则f(x)不存在极值点的概率

Answer 1

f'(x)=x^2+ax+b
根据题意a^2-4b≤0,则b≥a^2/4(抛物线区域内部）联立｛b=a^2/4且a=2得C(2,1)
总体：0≤a≤2 0≤b≤2的区域是正方形，面积为4.而C(2,1)在正方形的边界上。
不满足条件的区域是曲边三角形.OAC
S(曲边三角形)= ʃ (0,2)(a^2/4)da=a^3/12|(0,2)=2/3
所以事件"非A"的区域面积为2/3
总体区域面积为4
由几何概型可知P(非A)=(2/3)/4=1/6
P(A)=1-P(非A)=5/6

Answer 2

f'(x)=x^2+ax+b
若f(x)有极值点，则
f'(x)=0有两个不相等的实数根
∴Δ=a²-4b>0 ,b<1/4*a²
在直角坐标系aOb内
a，b为从区间[0，2]上任意去出两个数
则0≤a≤2, 0≤b≤2 ,表示的点的区域D为
边长为2的正方形
在区域D内 b<1/4*a²表示抛物线b=a²/4
的下方区域A，其面积为
ʃ（0，2）(a²/4)da=a³/12|(0,2)=2/3
区域D的面积为4
根据几何概型，不存在极值点的概率为
1-（2/3)/4=5/6