Question

在三角形abc中，角A= π/3，tanB=2tanC，则AC/AB=

Answer 1

∵tanB＝2tanC，∴sinB/cosB＝2sinC/cosC，结合正弦定理、余弦定理，得：
b/［（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）］＝2c/［（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）］，
∴2（a^2＋c^2－b^2）＝a^2＋b^2－c^2，∴a^2＝3b^2－3c^2。
又由余弦定理，有：a^2＝b^2＋c^2－2bccosA＝b^2＋c^2－bc。
∴3b^2－3c^2＝b^2＋c^2－bc，∴2b^2－4c^2＋bc＝0，∴2（b/c）－4（c/b）＋1＝0，
∴2（b/c）^2＋（b/c）－4＝0。
（b/c）显然大于0，∴b/c＝［－1＋√（1＋32）］/4＝（√33－1）/4。
∴AC/AB＝（√33－1）/4。