Question

高三数学在线解答

三棱锥P-ABC 中，顶点S 在平面ABC的射影为O ，向量OA+OB+OC=0 ，A 点在侧面 PBC上的射影H 是PBC 的垂心，PA=6 ，则此三棱锥体积的最大值为多少

Answer 1

有几点必须要看出来，
1. 向量OA+OB+OC=0意味着O是三角形ABC的重心，也就是中线交点。
2. 反复利用三垂线定理，AH 和CH都垂直PB，那么PB垂直AC。而PO也是垂直AC，那么BO也垂直AC。这样，BO是AC的中垂线。同理，AO是BC中垂线，CO是AB中垂线。那么显然，ABC是等边三角形。而O是ABC各种心（重心，垂心，外心，内心等等）
3. PA=6，假定PA与AO的夹角是x，那么AO=PA cosx，PO=PA sinx。
根据等边三角形的性质，A到BC的高=3/2*AO, BC=根号3 AO
这样就得到体积关于x的表达式
PA^3*(cosx)^2*sin(x)*3根号3/6,剩下的就是利用比如导数等于零之类就可以得到结果了