Question

指出函数f(x)=(1/3)的x^2-2x次方的单调増区间,就其单调増区间用定义证明,并求出y=f(x)的值域

要具体过程！

Answer 1

f(x) = (1/3)^(x^2-2x)
令g(x) = x^2-2x，对称轴x=-2/(-2)=1，开口向上
x∈（-∞，1）时，g(x) = x^2-2x单调减，f(x) = (1/3)^g(x)单调增；
x∈（1，+∞）时，g(x) = x^2-2x单调增，f(x) = (1/3)^g(x)单调减。
故单调增区间（-∞，1），单调减区间（1，+∞）

又，f(x) = (1/3)^(x^2-2x)＞0
并且，x=1时有极大值f(1)=(1/3)^(2^2-2*1)=3
∴值域（0，3)

Answer 2

先求导，f(x)=(1/3)的x^2-2x次方是一个复合函数，求导f（x）'=（2x-2）*（1/3）的 x^2-2x次方*ln1/3 ，（注 *是乘号）。所以导数f（x）'=0时，退出此时2x-2=0，即x=1. 当x＞1时，f（x）'小于0，所以函数f(x)在（1，负无穷）递增。当x＜1时，f（x）'＜0，所以x=1是极小值。函数f(x)在（1，负无穷）递增。当x=1时，f(x)=3，所以f(x)的值域为（3到负无穷）。