Question

在RT△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是形内一点,且∠CAD=∠CBD=15°E是AD延长线上一点，且CE=CA.

（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.

Answer 1

解﹙1﹚∵AC=BC
∴∠CAB=∠ABC=45°
又∵∠CAD=∠DBC=150°
∴∠DAB=∠DBA=30°
∴AD=BD,∠EDB=60°
又∵AC=BC,CD=CD
∴△ACD≌△BCD
∴∠ACD=∠BCD=45°
∵∠CAD=15º
∴∠CDE=60°∴∠CDE=∠BDE=60°即DE平分∠CDB
﹙2﹚连接CM由（1）得∠CDE=∠BDE=60°,∠ACD=∠BCD=45°
∵CD=MD，∠CDE=∠BDE=60°
∴△CMD为等边三角形
∴CM=CD,∠DCM=60°,∠CME=120°
∵AC=EC,∠CAD=∠DBC=15°
∴∠E=∠CAD=∠DBC=15°
又∵∠CME=120°
∴∠ECM=45°
∵∠ACD=∠BCD=45°
∴∠DCM=∠ECM=45°
又∵∠E=∠DBC=15°,CM=CD
∴△ECM≌△BCD(AAS)
∴EM=BE即ME=BD

Answer 2

∵△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15°
∴AC=BC,∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°
∴DA=DB,∠ADB=120°,又DC=DC
∴△ACD∽△BCD
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ADB=∠ADC=∠BDC=180°-15°-45°=120°
∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°
∴DE平分∠BDC

连接CM,
∵DC=DM,∠CDM=60°
∴△CDM为等边三角形
∴∠ADC=∠EMC=120°
∵CE=CA
∴∠DAC=∠MEC
∴△ADC≡△EMC
∴ME=AD=BD

Answer 3

﹙2﹚连接CM由（1）得∠CDE=∠BDE=60°,∠ACD=∠BCD=45°
∵CD=MD，∠CDE=∠BDE=60°
∴△CMD为等边三角形
∴CM=CD,∠DCM=60°,∠CME=120°
∵AC=EC,∠CAD=∠DBC=15°
∴∠E=∠CAD=∠DBC=15°
又∵∠CME=120°
∴∠ECM=45°
∵∠ACD=∠BCD=45°
∴∠DCM=∠ECM=45°
又∵∠E=∠DBC=15°,CM=CD
∴△ECM≌△BCD(AAS)
∴EM=BE即ME=BD