Question

已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2，过右焦点f且斜率为k的直线与c交与A.B两点，若AF=3FB.求k

Answer 1

.若A在第一象限，则B在第四象限；若B在第一象限，则A在第四象限，
这里设A在第一象限，B在第四象限，则直线与X轴成钝角，
作椭圆的右准线l，并分别从A、B作右准线的垂线AM、BN，M、N是垂足，同时作BH⊥AM，垂足H，
则四边形HMNB是矩形，|BN|=|HM|，
根据椭圆第二定义，|AF|/|AM|=|BF|/BN|=e=√3/2，
|BF|=（√3/2）|BN|，
|AF|/|BF|=|AM|/|AN|=3，（更比），
（|AF|-|BF|）/|BF|=（|AM|-|AN|）/|AN|=2，（分比）
∴|AH|/|BN|=2，
|AH|=2|BN|,
∵|AF|=3|BF|，
∴|AB|=4|BF|=4*|BN|√3/2=2√3|BN|，,
∵AM//X轴，
∴<HAB是AB和X轴所成角的补角，设<HAB=θ
cosθ=|AH|/|AB|=2|BN|/（2√3|BN|）=√3/3，,
secθ=1/cosθ=√3
tanθ=√[(secθ）^2-1]=√2，
∵直线和X轴成角是钝角，。
∴k=-√2，
当A在第四象限时，直线和X轴成锐角，
∴k=√2。

Answer 2

作椭圆x²/a²＋y²/b²=1的右准线，过点A、B分别引右准线的垂线，垂足分别是D、C，过点A作BC的垂线，垂足是H。设FB=t，则FA=3t，由椭圆第二定理，得：AD=3t/e，BC=t/e，则BH=2t/e，在直角三角形ABH中，AB=4t，BH=2t/e=4t/√3，所以AH=(4√6t)/3，则tan(∠ABH)=AH/BH=√2，即直线AB的斜率k=√2。