Question

已知F1，F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左、右焦点，双曲线恰好通过正三角形F1 F2 A 两边F1A,F2A的中点

已知F1，F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左、右焦点，双曲线恰好通过正三角形F1 F2 A 两边F1A,F2A的中点，则双曲线的离心率是？

Answer 1

正三角形底边为F1F2，因F1和F2关于Y轴对称的两点，故正三角形顶点在Y轴，
设AF1中点是P点，AF2中点是Q点，连结F2P、F1Q，
则|F1Q|=|PF2|，设|F1Q|=m,|QF2|=n,
根据双曲线定义，m-n=2a,
两边平方，m^2-2mn+n^2=4a^2,(1)
∵△AF1F2是正△，
∵P、Q分别是F1A和F2A的中点，
∴F1Q⊥AF2，F2P⊥F1A，
∴△PF1F2和△QF1F2均是RT△，
∴根据勾股定理，
m^2+n^2=4c^2,(2)
(2)-(1)式，
2mn=4(c^2-a^2)4b^2
mn=2b^2,
∵AO是正△AF1F2底边F1F2边上高，
∴OA=√3c,
作QH⊥X轴，H是垂足，
在RT△QF1F2中，根据等面积原理，
|F1Q|*|QF2|=|F1F2|*|HQ|，
|HQ|=mn/(2c)=2b^2/(2c)=b^2/c,
∵HQ又是△AOF2的中位线，
∴|HQ|=|OA|/2，
b^2/c=√3c/2.
2b^2=√3c^2,
2c^2-2a^2= √3c^2,
(c/a)^2=4+2√3，
c/a=√（√3+1）^2=√3+1，
∴离心率e=c/a=√3+1。