Question

四边形ABCD中E为AB上一点 三角形ADE和三角形BCE都是等边三角形

四边形ABCD中E为AB上一点 三角形ADE和三角形BCE都是等边三角形 AB、CD、CD、DA的中点分别是P、Q、M、N。 若AE=6，EB=4，求四边形PQMN的面积

Answer 1

【思路】 首先构造平面直角坐标系，再证明四边形PQMN是菱形，然后求对角线MP、NQ的长度，最后求菱形面积。（详见插图，插图链接地址在最后）解：定义平面直角坐标系，令原点与A重合，x轴与线段AB重合（如图所示） 则各点坐标为A(0,0)，B(10,0)，E(6,0)∵△ADE和△BCE都是等边三角形根据三线合一定理，易得点C、D坐标位置为 D(3,3√3)，C(8,2√3)根据线段中点坐标的性质 AB中点P的坐标为 P[ (0+10)/2 , (0+0)/2 ] ，即P(5,0)同理有，中点Q、M、N的坐标分别为 Q(9,√3)，M(11/2 , 5√3 /2)，N(3/2 , 3√3 /2)连接AC、BD∵P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点∴PQ = MN = (1/2)AC，PN = QM = (1/2)BD （三角形中位线定理） 而， AC = √【(8-0)² + (2√3-0)²】 = √76 = 2√19 BD = √【(10-3)² + (3√3-0)²】 = √76 = 2√19即，AC = BD = 2√19∴PQ = MN = PN = QM = (1/2)*2√19 = √19∴四边形PQMN为菱形∴S菱形PQMN = (1/2)MP*NQ （公式：菱形面积 = 两对角线乘积÷2） 而， MP = √【(11/2 - 5)² + (5√3/2 - 0)²】 = √19 NQ = √【(9 - 3/2)² + (√3 - 3√3/2)²】 = √57∴S菱形PQMN = (1/2)*√19*√57 = 19*(√3)/2 ≈ 16.45******************************************************【插图链接】

Answer 2

8根号三