求详解:已知abc均为正数且a+b+c=1 1/a+1/b+1/c=10 求abc的最小值
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最小值为1/32。三种情况下取得此最小值:(1/2,1/4,1/4)、(1/4,1/2,1/4)、(1/4,1/4,1/2)。
求解思路:
由a+b+c=1得b+c=1-a。
由1/a+1/b+1/c=10得1/b+1/c=10-1/a,整理得(b+c)/bc=(10a-1)/a,由此得bc=a(1-a)/(10a-1)。
所以,abc=a^2(1-a)/(10a-1)。求此式最小,此式中仅有一个变量a。
讨论a的取值范围。
由于b+c=1-a,bc=a(1-a)/(10a-1),又(b+c)^2-4bc=(b-c)^2>=0。
所以,(1-a)^2-4a(1-a)/(10a-1)>=0,整理得-10a^2+7a-1>=0,所以1/5<=a<=1/2。
由于a,b,c三个变量是对称的,又a+b+c=1,所以a,b,c中至少有一个大于等于1/3。
不失一般性,令a>=1/3。所以,1/3<=a<=1/2。
讨论函数y=abc=a^2(1-a)/(10a-1)在区间[1/3,1/2]的单调性。
通过尝试绘制图形,可以得到y在区间[1/3,2/5]单调上升,在[2/5,1/2]单调下降(该结论可以用高等数学中的内容证明),且y在a=1/3处的取值大于a=1/2处的取值。所以y在a=1/2处取得最小值,最小值为1/32。
当a=1/2时,b+c=1-a=1/2,bc=a(1-a)/(10a-1)=1/16,所以b=c=1/4。
因为a具有一般性,a,b,c三个变量是对称的,所以在a,b,c取值为(1/2,1/4,1/4)、(1/4,1/2,1/4)和(1/4,1/4,1/2)时,都取得最小值1/32.
求解思路:
由a+b+c=1得b+c=1-a。
由1/a+1/b+1/c=10得1/b+1/c=10-1/a,整理得(b+c)/bc=(10a-1)/a,由此得bc=a(1-a)/(10a-1)。
所以,abc=a^2(1-a)/(10a-1)。求此式最小,此式中仅有一个变量a。
讨论a的取值范围。
由于b+c=1-a,bc=a(1-a)/(10a-1),又(b+c)^2-4bc=(b-c)^2>=0。
所以,(1-a)^2-4a(1-a)/(10a-1)>=0,整理得-10a^2+7a-1>=0,所以1/5<=a<=1/2。
由于a,b,c三个变量是对称的,又a+b+c=1,所以a,b,c中至少有一个大于等于1/3。
不失一般性,令a>=1/3。所以,1/3<=a<=1/2。
讨论函数y=abc=a^2(1-a)/(10a-1)在区间[1/3,1/2]的单调性。
通过尝试绘制图形,可以得到y在区间[1/3,2/5]单调上升,在[2/5,1/2]单调下降(该结论可以用高等数学中的内容证明),且y在a=1/3处的取值大于a=1/2处的取值。所以y在a=1/2处取得最小值,最小值为1/32。
当a=1/2时,b+c=1-a=1/2,bc=a(1-a)/(10a-1)=1/16,所以b=c=1/4。
因为a具有一般性,a,b,c三个变量是对称的,所以在a,b,c取值为(1/2,1/4,1/4)、(1/4,1/2,1/4)和(1/4,1/4,1/2)时,都取得最小值1/32.
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