Question

如图 在三角形abc中，AD是角BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°。求证DE=DF

若DE=DF，则角BAC与角EDF的和是否是l8O度？若和仍是l8O度，说明理由，否则举出反例。

Answer 1

证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，

即∠EMD=∠FND=90°，

∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN（角平分线性质），

∵∠EAF+∠EDF=180°，

∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，

∵∠AFD+∠NFD=180°，

∴∠MED=∠NFD，

在△EMD和△FND中

∠MED＝∠DFN

∠DME＝∠DNF

DM＝DN，

∴△EMD≌△FND（AAS），

∴DE=DF．

扩展资料：

一、角平分线的定义:

1、从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisector of angle)。

2、角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。

二、角平分线性质：

1、三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心 (即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆)。 

2、三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

三、全等三角形的判定：

1、SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

2、SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

3、ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

4、AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

参考资料：百度百科-角平分线

Answer 2

1、证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC
∴DM＝DN，∠DME＝∠DNF＝90
∵∠EAF+∠EDF+∠AED+∠AFD＝360, ∠EDF+∠EAF＝180
∴∠AED+∠AFD＝180
∵∠DEM+∠AED＝180
∴∠DEM＝∠AFD
∴△DEM≌△DFN （AAS）
∴DE＝DF
2、成立
证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC
∴DM＝DN，∠DME＝∠DNF＝90
∴DE＝DF
∴△DEM≌△DFN （HL）
∴∠DEM＝∠AFD
∵∠AED+∠DEM＝180
∴∠AED+∠AFD＝180
∵∠EAF+∠EDF+∠AED+∠AFD＝360
∴∠EDF+∠EAF＝180
在AC上取点G，连接DG，使DG∥AE，且AD为∠BC的角平分线，所以∠ADG=∠EAD=∠GAD=∠ADE=∠1，得出△EAD和△GAD为两个全等等腰三角形，且E、G分别为两个顶角。可以得出AE=ED=AG=DG。 在△GAD中，③：2∠1+∠AGD=180°，又因为4∠1+∠GDF=180°，得出①：∠AGD=2∠1+∠GDF。∵∠AGD是三角形GDF的一个外角，∴②：∠AGD=∠GDF+∠GFD。由①②可以得出∠GFD=2∠1。∵∠AGD+∠FGD=180°，又因为③式，可以得出∠FGD=2∠1=∠GFD，因此，三角形DGF为等腰，所以DF=DG=DE。

∵∠EDF+∠EAF=180°
∴∠BAC+∠EDF=180°

Answer 3

1、证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC
∴DM＝DN，∠DME＝∠DNF＝90
∵∠EAF+∠EDF+∠AED+∠AFD＝360, ∠EDF+∠EAF＝180
∴∠AED+∠AFD＝180
∵∠DEM+∠AED＝180
∴∠DEM＝∠AFD
∴△DEM≌△DFN （AAS）
∴DE＝DF
2、成立
证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC
∴DM＝DN，∠DME＝∠DNF＝90
∴DE＝DF
∴△DEM≌△DFN （HL）
∴∠DEM＝∠AFD
∵∠AED+∠DEM＝180
∴∠AED+∠AFD＝180
∵∠EAF+∠EDF+∠AED+∠AFD＝360
∴∠EDF+∠EAF＝180

Answer 4

过D作DG垂直AB,DH垂直AC,垂足G,H

所以角EGD=FHD=90度

因AD平分角BAC

所以DG=DH

因为角BAC+EDF=180度,

所以角AED+角DFH=180度

因为角AED+DEG=180度

所以角DEG=DFH

所以三角形DEG全等于DFH

所以DE=DF

Answer 5

在AC上取点G，连接DG，使DG∥AE，且AD为∠BC的角平分线，所以∠ADG=∠EAD=∠GAD=∠ADE=∠1，得出△EAD和△GAD为两个全等等腰三角形，且E、G分别为两个顶角。可以得出AE=ED=AG=DG。 在△GAD中，③：2∠1+∠AGD=180°，又因为4∠1+∠GDF=180°，得出①：∠AGD=2∠1+∠GDF。∵∠AGD是三角形GDF的一个外角，∴②：∠AGD=∠GDF+∠GFD。由①②可以得出∠GFD=2∠1。∵∠AGD+∠FGD=180°，又因为③式，可以得出∠FGD=2∠1=∠GFD，因此，三角形DGF为等腰，所以DF=DG=DE。

∵∠EDF+∠EAF=180°
∴∠BAC+∠EDF=180°