Question

为什么F(x)＝∫a到xf(t)dt，F'(x)＝f(x)

Answer 1

设f(x)的原函数为G(x)，则G'(x)=f(x)

F'(x)=[∫[a：x]f(t)dt]'

=[G(x)-G(a)]'

=G'(x)-G'(a)

=f(x)-0

=f(x)

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

Answer 2

设f(x)的原函数为G(x)，则G'(x)=f(x)
F'(x)=[∫[a：x]f(t)dt]'
=[G(x)-G(a)]'
=G'(x)-G'(a)
=f(x)-0
=f(x)
这样理解最直观而且不容易错。基础的掌握了，提高难度，解法也是一样的。
例如：F(x)=∫[a²：x²]f(t)dt
设f(x)的原函数为G(x)，则G'(x)=f(x)
F'(x)=[∫[a²：x²]f(t)dt]'
=[G(x²)-G(a²)]'
=G'(x²)-G'(a²)
=f(x)·(x²)'-0
=2x·f(x)
结果就不是f(x)了，解法是一样的。

Answer 3

只有最后一个
(∫[a,x^2]f(t)dt)'=2xf(x^2)
是正确的
对于变上限积分∫[a,g(x)]f(t)dt
其对x求导就
用g(x)代替f(t)中的t，
然后再乘以g'(x)，即g(x)对x求导
在这里
显然x^2的导数是2x，
所以
(∫[a,x^2]f(t)dt)'=2xf(x^2)
而(∫[a,x]f(t)dt)'=f(x)
∫[a,b]f(t)dt为常数，求导为0
都是不对的

Answer 4

F(x)就是从a到x对f(x)进行积分，求导则是进行微分，积分后在微分当然就等于f(x)本身了