Question

数学归纳法证明1+3+9+…+3=(1/2)(3^n-1),n∈N*

Answer 1

设 sn = 1+3+9+…+3^n = (1/2)(3^n-1)，n∈N*
当n = 1 时，
s1 = (1/2)(3^1-1) = 1

当n = k 时，
sk = (1/2)(3^k-1)

当n = k+1 时，
s(k+1) = (1/2)[3^(k+1)-1]

因为，
a(k+1)
= s(k+1) -sk
= (1/2)[3^(k+1)-1] - (1/2)(3^k-1)
= (1/2) (3×3^k-1 - 3^k + 1)
= (1/2) (2×3^k)
= 3^k

所以，有：
sn = 1+3+9+…+3^n = (1/2)(3^n-1)，n∈N* 成立。

Answer 2

证：
1.当n=1时，左=3^0=1，右=(3^1-1)/2=(3-1)/2=1，左=右，等式成立。
2.假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，等式成立，即
1+3+9+...+3^(k-1)=(3^k-1)/2
那么当n=k+1时
1+3+9+...+3^k
=1+3+9+...+3^(k-1)+3^k
=(3^k-1)/2+3^k
=(3^k-1+2×3^k)/2
=(3×3^k-1)/2
=[3^(k+1)-1]/2
等式同样成立。
据1.2可知1+3+9+…+3^(n-1)=1/2(3^n-1)

Answer 3

1=(1/2)×2=(1/2)×(3-1)
1+3=4=(1/2)×8=(1/2)×(9-1)=(1/2)×(3²-1)
1+3+3²=13=(1/2)×26=(1/2)×(27-1)=(1/2)×(3³-1)
.....
依此类推
1+3+3²+.....3^n=(1/2)(3^n-1)；n∈N*
得证