Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG,CG,如图（1）易证EG=CG且EG⊥CG

Answer 1

对一般情况证明。ABCD BEFH为正方形，G是FD中点，证明GE⊥＝GC﹙题中全是特款﹚，

设FE＝b'﹙向量﹚，EB＝b, BC＝a, CD＝a'.

有：b'²＝b².a'²＝a², bb'＝aa'＝0 ,ab'＝a'b   ab＝-a'b'﹙*﹚

ED＝b'+b+a+a'  EG＝EF+FG＝﹙-b'+b+a+a' ﹚/2   GC＝GD+DC＝﹙b'+b+a-a' ﹚/2

从﹙*﹚，直接算得  EG²＝﹙-b'+b+a+a' ﹚²/4＝……＝﹙﹙b'+b+a-a' ﹚²/4＝ GC²

 EG•GC＝﹙-b'+b+a+a' ﹚•﹙b'+b+a-a' ﹚/4＝……＝0。 即GE⊥＝GC。

[ 向量方法简洁方便，初中学生稍作努力即可掌握，一般家教三次课即可学会，不妨试试。]

Answer 2

解：(1)把RT三角形EBC绕点C，按顺时针旋转90度，使BC与DC重合，得三角形DCH ,DH在AD的延长线上，连接EH 因为DH||且=EF so EFHD是平行四边形 so EH过点G, EC=CH 且EC垂直CH so ECH是等腰直角三角形，CG是斜边上的中线也是高， so EG垂直且=GC

(2)同理，延长ED交CD的延长线于H，可证EFHD为平行四边形，ECH为等腰直角三角形

(3)同理，延长EG交AD于H，可证EFHD为平行四边形， ECH为等腰直角三角形